数学と物理学のブログ

本業から離れて、趣味である数学と物理学について書きます。

ヒルベルト空間の備忘録

ヒルベルト空間の備忘録

1.コーシー列

定義1-1 コーシー列

数列{φ_n}がコーシー列であるとは、

  (1-1)  ∀ε>0に対し、∃N:  n≧N ⇒|φ_m-φ_n|<ε

が成り立つことをいう。

定義1-2 収束

数列{φ_n}a収束するとは、

  (1-2)  ∀ε>0に対し、∃N:  n≧N ⇒|φ_n-a|<ε

が成り立つことをいい、φ_n→aと表す。

定義1-3 有界

数列φ_nが上に有界とは、

       ある数aがあって、∀n:  φ_n<a

が成り立つことをいう。また、このような数aの集合を上界といい、φ_nの最小の上界を上限といい、sup{φ_n}と表す。

数列φ_nが下に有界とは、

       ある数aがあって、∀n:  φ_n>a

が成り立つことをいう。また、このような数aの集合を下界といい、φ_nの最大の下界を下限といい、inf{φ_n}と表す。

定理1-1 有界な単調増加数列と単調減少数列の収束

有界な単調増加数列数列φ_nが上に有界であれば、φ_nは収束する。
有界な単調減少数列数列φ_nが下に有界であれば、φ_nは収束する。
(証明)
※単調増加数列についてのみ
有界な単調増加数列数列φ_nが上に有界であれば、定義1-3により上限αをもつ。αは、最小の上界であるので、
     ∀ε>0に対し、∃φ_N:  α-ε<φ_N≦α
が成り立つ。そして、φ_nは単調増加なので、k≧Nであれば、φ_k≧φ_N。したがって、
     α-ε<φ_N≦φ_k≦α
が成り立つので、k≧N|φ_n-α|<εとなり、収束の定義1-2より、φ_n→α

定理1-2 縮小区間の原理

区間の列{[ a_n,b_n ]}が、任意のnに対し、a_n≦a_n+1<b_n+1≦b_nを満足するとき、\bigcap_{n=1}^∞[ a_n,b_n ]≠Φ
とくに、b_n-a_n→0のときは、\bigcap_{n=1}^∞[ a_n,b_n ]は1点となる。
(証明)
端点の列{a_n}は、単調増加で、上からはb_1で抑えられている。ゆえに、定理1-1よりa_n→aが存在する。一方b_nは単調減少で、下からa_1で抑えられているので、b_n→bが存在し、a≦bは自明である。よって、閉区間[ a,b ]が\bigcap_{n=1}^∞[ a_n,b_n ]に含まれる。
とくに、b_n-a_n→0のときは、0≦b-a≦b_n-a_n→0より、a=bとなるので、[ a,b ]=aである。

定理1-3 収束する列はコーシー列である。

数列{φ_n}が収束する ⇔ 数列{φ_n}がコーシー列である。

(証明)
【収束⇒コーシー列の証明】
φ_naに収束するのであれば、収束の定義(1-2)より、
    ∀ε/2>0に対し、∃N:  n≧N ⇒ |φ_n-a|<ε/2
ゆえに、m≧N ⇒ |φ_m-a|<ε/2。したがって、
    m,n≧N ⇒  |φ_m-φ_n|≦|φ_m-a|+|a-φ_n|<ε
これは{φ_n}がコーシー列(定義1-1)であることを示している。

2.ベクトル空間・バナッハ空間・ヒルベルト空間

定義2-1 ベクトル空間

φ_1,φ_2,φ_3,・・・からなる集合Xが次の条件をみたすとき、ベクトル空間といい、そのをベクトル、またはベクトル空間のという。
任意のφ_1,φ_2∈Xに対し、和φ_1+φ_2∈Xが定義されて、

  (2-1)  φ_1+φ_2=φ_2+φ_1
  (2-2)  (φ_1+φ_2)+φ_3=φ_1+(φ_2+φ_3)
  (2-3)  ∃0∈X:  ∀φ∈Xに対し、φ+0=φ
  (2-4)  ∀φ∈X:  ∃(-φ)∈X:  φ+(-φ)=0

任意の複素数α,β及びφ,φ_1,φ_2∈Xに対して、スカラーαφ∈Xが定義されて、
  (2-5)  1・φ=φ
  (2-6)  α(βφ)=(αβ)φ
  (2-7)  (α+β)φ=αφ+βφ
  (2-8)  α(φ_1+φ_2)=αφ_1+βφ_2

定義2-2 ノルム

任意のφ,φ_1,φ_2∈Xに対し定義される次のような性質を持つ関数|| ・||をノルムという。
  (2-9)  ||φ||≧;||φ||=0 ⇔φ=0
 (2-10)  ||αφ||=|α|||φ||
  (2-11)  ||φ_1+φ_2||≦||φ_1||+||φ_2||
また、ノルムが定義されているベクトル空間をノルム空間という。

定義2-3 バナッハ空間

ノルム空間Xの任意のコーシー列がXの点に収束するとき、X完備であるという。
完備なノルム空間をバナッハ空間という。

定義2-4 内積空間とヒルベルト空間

φ_1,φ_2,φ_3,・・・からなるバナッハ空間Hが次の条件をみたすとき、内積空間という。
内積について完備な内積空間をヒルベルト空間という。

  (2-11)  <φ_1,φ_1>≧0, :<φ_1,φ_1>=0 ⇔ φ_1=0
  (2-12)  <φ_1,φ_2>=\overline{<φ_2,φ_1>}
 (2-13)  <αφ_1,φ_2>=α<φ_1,φ_2>
 (2-14)  <φ_1+φ_2,φ_3>=<φ_1,φ_3>+<φ_2,φ_3>

定義2-5 閉包と閉集合・開集合

(1)Hヒルベルト空間とし、𝒟Hの空でない部分集合とする。Hの元で、𝒟の点列の極限となっているものの全体を𝒟閉包とよび、 \overline{𝒟}で表す。

  \overline{𝒟}={φ∈H |φ_n∈𝒟(n=1,2,・・・)が存在して、lim_{n→∞}φ_n=φ}

これは、𝒟の収束列の極限をすべて集めてできる集合であり、𝒟⊂\overline{𝒟}となる。
(2)閉包をとっても変わらない部分集合、つまり、𝒟=\overline{𝒟}をみたす部分集合𝒟閉集合という。
(3)補集合𝒡^c=H╱𝒡閉集合となる部分集合𝒡⊂H開集合という。

定義2-6 直交補空間

ヒルベルト空間Hの部分空間𝒟に対して、𝒟のすべてのベクトルと直交するベクトルの全体を𝒟直交補空間といい、𝒟^{⊥}で表す。

  𝒟^{⊥}={φ∈H |すべてのψ∈𝒟に対して、<φ,ψ>=0}

定理2-1 ヒルベルト空間Hの部分集合𝒟に対して、\overline{𝒟}閉集合である。

(証明)
\overline{𝒟}=Fとおくと、閉包の定義より、F⊂\overline{F}となる。
そこで、この逆の包含関係を示すせばよい。
ψ∈\overline{F}とする。このとき、φ_n→φ (n→∞)となるφ_n∈Fが存在する。したがって、任意のε>0に対して、番号n_0が存在して、n≧n_0ならば、||φ_n-φ||<εが成り立つ。
また、φ_{n_0}∈F=\overline{𝒟}であるから、||φ_n-φ_{n_0}||<εをみたす点列φ_n⊂𝒟が存在する。( \overline{𝒟}={φ_0∈H |φ_n∈𝒟(n=1,2,・・・)が存在して、lim_{n→∞}φ_n=φ_0}
したがって、||φ_n-φ||=||(φ_n-φ)+(φ_{n_0}-φ)||≦||φ_n-φ_{n_0}||+||φ_{n_0}-φ||<2ε
これは、φ_n→φ (n→∞)を意味するからφ∈\overline{𝒟}=Fである。
よって、\overline{F}⊂Fが示された。

定理2-2 ヒルベル空間Hの部分空間𝒟閉集合であるための必要十分条件は、𝒟の任意の収束列に対して、その極限が𝒟の元になっていることである。

(証明)
【必要性】
𝒟閉集合φ_n∈𝒟φ_n→φ∈H (n→∞)とする。このとき、φ∈\overline{𝒟}であり、𝒟閉集合であるので、𝒟=\overline{𝒟}である。よって、φ∈𝒟
【十分性】
𝒟の任意の収束列に対して、その極限が𝒟の元になっていると仮定し、𝒟⊂\overline{𝒟}の逆の包含関係を示す。(このとき、𝒟=\overline{𝒟}となるので、定理2-1により𝒟閉集合となる。)
φ∈\overline{𝒟}とすれば、閉包の定義によって、φ_n→φ (n→∞)となるφ_n∈𝒟が存在する。仮定により、φ∈𝒟である。
したがって、\overline{𝒟}⊂𝒟である。

定理2-3 直交分解定理

𝒨ヒルベルト空間Hの閉部分空間とする。このとき、任意のφ∈Hに対して、d(φ,𝒨)=||φ-φ_𝒨||を満たすベクトルφ_𝒨∈𝒨がただ一つ存在し、このφ_𝒨∈𝒨を、𝒨の上へのφ正射影という。
(証明)
d=d(φ,𝒨)とする。dの定義より、||φ-φ_n||→d (n→∞)となる点列{ψ_n}_{n=1}^∞⊂𝒨が存在する。
このとき、
||ψ_n-ψ_m||^2=||(ψ_n-φ)+(φ-ψ_m)||^2=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2+Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)   ①
||ψ_n+ψ_m-2φ||^2=||(ψ_n-φ)-(φ-ψ_m)||^2=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2-Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)  ②

②より、
Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2-||ψ_n+ψ_m-2φ||^2  ③

③を①に代入すると、
||ψ_n-ψ_m||^2=2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-||ψ_n+ψ_m-2φ||^2
   =2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-4||\frac{ψ_n+ψ_m-2φ}{2}||^2
   ≦2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-4d
   →2d^2+2d^2-4d^2=0 (n,m→∞)
したがって、{ψ_n}_{n=1}^∞はコーシー列である。よって、ψ_n→φ_𝒨となるφ_𝒨∈Hが存在し、d(φ,𝒨)=||φ-φ_𝒨||が成り立つ。𝒨は閉部分空間であるからφ_𝒨∈𝒨となる。(定理2-2により、点列の極限が集合でに収束すれば閉集合となる。)
次に、φ_𝒨の一意性を証明する。
仮に、φ_𝒨とは別にd(φ,𝒨)=||φ-ψ||を満たすψ∈𝒨があったする。上記の計算を、ψ_n,ψ_mの代わりに、φ_𝒨,ψを用いて行えば、||φ_𝒨-ψ||^2≦2||φ_𝒨-φ||^2+2||φ-ψ||^2-4d=2d^2+2d^2-4d^2=0となる。
したがって、φ_𝒨=ψとなる。

定理2-3 正射影定理

𝒨ヒルベルト空間Hの閉部分空間とする。このとき、Hの任意のベクトルφは、φ=ψ+η (ψ∈𝒨,η∈𝒨^{⊥})という形に一意的に表される。ここで、ψ,ηはそれぞれ、𝒨,𝒨^{⊥}の上へのφの正射影である。
(証明)
φ∈Hとし、𝒨上へのφの正射影をψとする。η=φ-ψとおけば、φ=ψ+ηと書ける。そこで、η∈𝒨^{⊥}を示す。
d=||φ-ψ||とおく。ξ∈𝒨,t∈\bf{R}とする。このとき、ψ+tξ∈𝒨,d=||η||であるから、
  d^2≦||φ-(ψ+tξ)||^2=||η-tξ||^2=d^2+t^2||ξ||^2-2tRe(<η,ξ>)
したがって、すべてのt∈\bf{R}に対して、t^2||ξ||^2-2Re(<η,ξ>)≧0、これはRe(<η,ξ>)=0を意味する。tの代わりにてitを用いれば同様にして、Im(<η,ξ>)=0が得られる。したがって、<η,ξ>=0であり、ξ𝒨の任意の元であったから、η∈𝒨^{⊥}である。
次にφの表示の一意性を示すために、別にφ=ψ'+η' (ψ'∈𝒨,η'∈𝒨^{⊥})と表されたとする。このとき、ψ-ψ'=η-η'となり、この式の左辺は𝒨の元であり、右辺は𝒨^{⊥}の元である。ところが、𝒨∩𝒨^{⊥}={0}であるから、ψ-ψ'=0,η-η'=0でなければならず、ψ=ψ',η=η'となる。

3.ヒルベルト空間上の線形汎関数

定義3-1 作用素

作用素Tとはヒルベルト空間Hもしくはその部分空間Dに属している各元φ∀φ∈H)をHまたはその部分空間Rに属している元ψ写像するものである。

  (3-1)  Tφ=ψ

定義3-2 線形作用素

作用素Tヒルベルト空間Hもしくはその部分空間Dに属しているすべての関数φψおよびすべてのスカラーαβ(いずれも複素数)に対して、

  (3-2)  T(αφ+βψ)=αTφ+βTψ

という性質を有するとき、このTヒルベルト空間上の線形作用素という。

定義3-3 有界線形作用素

H_1,H_2ヒルベルト空間、TH_1からH_2への線形作用素とする。定数C>0が存在して、すべてのφ∈D(T)に対して次の関係が成り立つとき、T有界であるという。有界な線形作用素を、有界線形作用素という。

  (3-3)  ||Tφ||≦C||φ||

以下では、特に断らない限り、作用素は線形作用素であるとする。

定義3-4 定義域と値域と零空間

作用素Tの定義される元φ∈Hの集合D(T)T定義域R(T)={Tφ:φ∈D(T)}T値域という。
Tφ=0を満たすすべての元の定義域N(T)T零空間という。

定義3-5 作用素の同等

作用素S,Tについて、次の2つの条件(1)と(2)が満たされるとき、STは等しいとし、S=Tと表す。
 (1)D(S)=D(T) (定義域が等しい)
 (2)すべてのφ∈D(S)=D(T))に対してSφ=Tφ (作用が等しい)

定義3-6 作用素単射全射

作用素Tが、φ≠ψであるようなφ,ψ∈D(T)に対して、Tφ≠Tψであるとき、T1対1あるいは単射であるという。
作用素Tヒルベルト空間H_1からH_2(つまり、φ∈H_1,Tφ∈H_2)の作用素であり、値域R(T)=H_2であるとき、T全射であるという。

定義3-7 ヒルベルト空間上の線形汎関数

ヒルベルト空間上の閉部分空間Mに属するすべてのf,gとすべての複素数α,βに対して汎関数lが次の条件を満たす場合、このlM上の線形汎関数という。

  (3-4)  l(αf+βg)=αl(f)+βl(g)

このlf共役関数といい、l(f)の集合で作られる空間Mをの共役空間という。

定義3-8 線形汎関数有界

ヒルベルト空間Hの部分空間Mに属するすべてのhに対して、

  (3-5)  |l(h)|≦κ||h||     (||h||^2=<{h},{h}> )
    
となるような正定数κが存在するとき、線形汎関数はその定義域M上の有界であると言われる。
この不等号がMに属するすべてのhに対して成り立つ最も小さい正定数κは線形汎関数lのノルムといわれ、||l||によって表される。

  (3-6)  ||I||=sup_{||h||≠0}\frac{|l(h)|}{||h||}

定義3-9 線形汎関数の連続性

(1)線形汎関数i(h)Mで連続とは、g,hMに属し、各ε>0に対して||g-h||<δのときはいつでも、|l(h)-l(g)|<εとなるようなδ>0が存在することである。
(δ=0では、不連続)
(2)Mに属する点列{h_n}が極限hをもつときはいつでもl(h_n)→l(h)となるとき、汎関数lhで連続であるという。
(3)M上のすべての点で連続は汎関数Mで連続であるという。

定理3-1 原点で連続な有界線形汎関数lはその全定義域Mで連続である。

(証明)
Mに属する任意の点列{h_n}Mに属するある点hに極限をもつとする。
このとき||h_n-h||→0となり、原点で連続であるという仮定より、l(h_n-h)→l(h)となる。
仮定によりlは線形であるから、l(h_n-h)=l(h_n)-l(h)で、原点において連続であるから、l(h_n)→l(h)となり、lは全定義域で連続となる。

定理3-2 線形汎関数において、有界性⇔連続性が成り立つ。

(証明)
有界⇒連続】
l有界であるとする、有界の定義3-8よりある定数κが存在して、
    |l(h_n)-l(h)|=|l(h_n-h)|≦κ||h_n-h||
となる。したがって、h_n→hのとき、l(h_n)→l(h)となり、定義3-9(2)よりlは連続である。
【連続⇒有界
もし、lが非有界であるなら、κ>0に対して
   |l(h_n)|>κ||h_n||
となるようなMに属する非ゼロの点列{h_n}が存在することになる。
すると、0に収束する点列g_n=\frac{h_n}{n||h||}|l(g_n)|>\frac{κ}{n}>0となり、l(g_n)は0になりえず、原点における連続性に反する。

定理3-3 有界線形作用素の連続性

Tヒルベルト空間H_1からヒルベルト空間H_2への有界線形作用素とするとき、次の(1)と(2)が成り立つ。
(1)φ_n∈D(T),φ_n→φ∈D(T)n→∞)⇒Tφ_n→Tφn→∞
(2)D(T)=H_2のとき、零空間N(T)は閉部分空間である。
(証明)
(1)Tの線形性と有界性により、||Tφ_n-Tφ||=||T(φ_n-φ)||≦||T|| ||φ_n-φ||
よって、φ_n→φであれば、||Tφ_n-Tφ||→0であり、Tφ_n→Tφとなる。
(2)φ_n∈N(T),φ_n→φ∈H_2となる。このとき、連続性により、Tφ_n→Tφとなる。
一方で、Tφ_n=0であるため、Tφ=0であるので、φ∈N(T)
よって、N(T)閉集合である。なお、N(T)が部分空間であることは定義より自明。

定理3-4 リースの表現定理

ヒルベルト空間Hの全体で定義される連続有界線形汎関数Fは、Hに属するすべての元ψに対して、次のように内積の形でH内の元φ_Fと対応づけられて一意的に表すことができる。さらに、||φ_F||=||F||が成り立つ。

  (3-7)  F(ψ)=<φ_F,ψ> 

(証明)
まず、N(F)=HF(ψ)=0)の場合を考える。この場合は、φ_F=0とすれば、F(ψ)=0=<φ_F,ψ>,ψ∈Hが成り立つので、φ_Fが存在する。
次にN(F)≠Hの場合を考える。定理3-3(2)により、N(F)は閉部分空間であるから、正射影定理(定理2-3)により、零でないベクトルψ_0∈(N(F))^{⊥}が存在し、F(ψ_0)≠0が成り立つ。
よって、任意のψ∈Hに対して、φ≡ψ-F(ψ)F(ψ_0)^{-1}ψ_0N(F)の元である。したがって、<ψ_0,φ>=0となる。
これを書き直すと、0=<ψ_0,ψ>-F(ψ)F(ψ_0)^{-1}||ψ_0||^2なので、F(ψ)=\frac{F(ψ_0)<ψ_0,ψ>}{||ψ_0||^2}を得る。
したがって、φ_F=\frac{F(ψ_0)^{*}ψ_0}{||ψ_0||^2}とすれば、F(ψ)=<φ_F,ψ>となり、φ_Fは存在する。
次に、φ_Fの一意性を証明する。
別に、F(ψ)=<φ_F',ψ>ψ∈Hをみたすφ_F'∈Hが存在すると、<φ_F-φ_F',ψ>=0となる。ψは任意であるから、特に、ψ=φ_F-φ_F'とすれば、||φ_F-φ_F'||=0なので、φ_F=φ_F'となる。

定義3-10 共役空間と共役関数

リースの表現定理(定理3-4)により、ヒルベルト空間Hの全体で定義される連続有界線形汎関数Fは、F(ψ)=<φ_F,ψ>の形式で内積として一意に表されるが、この線形汎関数のすべてからなる集合をH共役空間また双対空間といい、H^*で表す。
また、F(ψ)を共役関数という。
ヒルベルト空間においては、H^*=Hとなる。

4.ヒルベルト空間の性質

定義4-1 正規直交基底

Hヒルベルト空間とする。Hが有限次元でN次元とすると、N個の独立なベクトルの組ψ_1,ψ_2,・・・,ψ_Nが存在する。グラム・シュミットの直交化法により、正規直交系{{ψ_n}^N}_{n=1}がとれる。
したがって、任意のφ∈Hは、φ={Σ^N}_{n=1}<ψ_n,φ>ψ_nと表される。こうして、有限次元ヒルベルト空間Hにおいては、つねに正規直交系{{ψ_n}^N}_{n=1}が存在して、Hの任意のベクトル(元)は、そのψ_n方向への正射影の和として一意に表されることができ、このような正規直交系をHの正規直交基底という。

一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する [ 石井 俊全 ]

価格:3,780円
(2019/3/21 13:11時点)
感想(0件)

マンガでわかる量子力学 日常の常識でははかりしれないミクロな世界の現象を解 (サイエンス・アイ新書) [ 福江純 ]

価格:1,188円
(2019/3/21 13:13時点)
感想(2件)