ヒルベルト空間の備忘録

ヒルベルト空間の備忘録

１．コーシー列

定義１－１　コーシー列

数列 ${φ_n}$ がコーシー列であるとは、

　　(1-1)　　 $∀ε＞0$ に対し、 $∃N:　　n≧N　⇒|φ_m-φ_n|＜ε$

が成り立つことをいう。

定義１－２　収束

数列 ${φ_n}$ が $a$ に収束するとは、

　　(1-2)　　 $∀ε＞0$ に対し、 $∃N:　　n≧N　⇒|φ_n-a|＜ε$

が成り立つことをいい、 $φ_n→a$ と表す。

定義１－３　有界

数列 $φ_n$ が上に有界とは、

　　　　　　　ある数 $a$ があって、 $∀n:　　φ_n＜a$

が成り立つことをいう。また、このような数 $a$ の集合を上界といい、 $φ_n$ の最小の上界を上限といい、 $sup{φ_n}$ と表す。

数列 $φ_n$ が下に有界とは、

　　　　　　　ある数 $a$ があって、 $∀n:　　φ_n＞a$

が成り立つことをいう。また、このような数 $a$ の集合を下界といい、 $φ_n$ の最大の下界を下限といい、 $inf{φ_n}$ と表す。

定理１－１　有界な単調増加数列と単調減少数列の収束

・有界な単調増加数列数列 $φ_n$ が上に有界であれば、 $φ_n$ は収束する。
・有界な単調減少数列数列 $φ_n$ が下に有界であれば、 $φ_n$ は収束する。
（証明）
※単調増加数列についてのみ
有界な単調増加数列数列 $φ_n$ が上に有界であれば、定義１－３により上限 $α$ をもつ。 $α$ は、最小の上界であるので、
　　　　　 $∀ε＞0$ に対し、 $∃φ_N:　　α-ε＜φ_N≦α$
が成り立つ。そして、 $φ_n$ は単調増加なので、 $k≧N$ であれば、 $φ_k≧φ_N$ 。したがって、
　　　　　 $α-ε＜φ_N≦φ_k≦α$
が成り立つので、 $k≧N$ ⇒ $|φ_n-α|＜ε$ となり、収束の定義１－２より、 $φ_n→α$

定理１－２　縮小区間の原理

閉区間の列{[ $a_n,b_n$ ]}が、任意の $n$ に対し、 $a_n≦a_n+1＜b_n+1≦b_n$ を満足するとき、 $\bigcap_{n=1}^∞$ [ $a_n,b_n$ ] $≠Φ$ 。
とくに、 $b_n-a_n→0$ のときは、 $\bigcap_{n=1}^∞$ [ $a_n,b_n$ ]は１点となる。
（証明）
端点の列 ${a_n}$ は、単調増加で、上からは $b_1$ で抑えられている。ゆえに、定理１－１より $a_n→a$ が存在する。一方 $b_n$ は単調減少で、下から $a_1$ で抑えられているので、 $b_n→b$ が存在し、 $a≦b$ は自明である。よって、閉区間[ $a,b$ ]が $\bigcap_{n=1}^∞$ [ $a_n,b_n$ ]に含まれる。
とくに、 $b_n-a_n→0$ のときは、 $0≦b-a≦b_n-a_n→0$ より、 $a=b$ となるので、[ $a,b$ ]= $a$ である。

定理１－３　収束する列はコーシー列である。

数列 ${φ_n}$ が収束する　⇔　数列 ${φ_n}$ がコーシー列である。

（証明）
【収束⇒コーシー列の証明】
$φ_n$ が $a$ に収束するのであれば、収束の定義（１－２）より、
　　　　 $∀ε/2＞0$ に対し、 $∃N:　　n≧N ⇒ |φ_n-a|＜ε/2$
ゆえに、 $m≧N　⇒　|φ_m-a|＜ε/2$ 。したがって、
　　　　 $m,n≧N ⇒ |φ_m-φ_n|≦|φ_m-a|+|a-φ_n|＜ε$
これは ${φ_n}$ がコーシー列（定義１－１）であることを示している。

２．ベクトル空間・バナッハ空間・ヒルベルト空間

定義２－１　ベクトル空間

元 $φ_1,φ_2,φ_3,$ ・・・からなる集合 $Ｘ$ が次の条件をみたすとき、ベクトル空間といい、その元をベクトル、またはベクトル空間の点という。
任意の $φ_1,φ_2∈X$ に対し、和 $φ_1+φ_2∈X$ が定義されて、

　　(2-1)　　 $φ_1+φ_2=φ_2+φ_1$
　　(2-2)　　 $(φ_1+φ_2)+φ_3=φ_1+(φ_2+φ_3)$
　　(2-3)　　 $∃0∈X:　　∀φ∈Xに対し、φ+0=φ$
　　(2-4)　　 $∀φ∈X:　　∃(-φ)∈X:　　φ+(-φ)=0$

任意の複素数 $α,β$ 及び $φ,φ_1,φ_2∈X$ に対して、スカラー倍 $αφ∈X$ が定義されて、
　　(2-5)　　 $1・φ=φ$
　　(2-6)　　 $α(βφ)=(αβ)φ$
　　(2-7)　　 $(α+β)φ=αφ+βφ$
　　(2-8)　　 $α(φ_1+φ_2)=αφ_1+βφ_2$

定義２－２　ノルム

任意の $φ,φ_1,φ_2∈X$ に対し定義される次のような性質を持つ関数 $|| ・||$ をノルムという。
　　(2-9)　　 $||φ||≧;||φ||=0 ⇔φ=0$
　(2-10)　　 $||αφ||=|α|||φ||$
　 (2-11)　　 $||φ_1+φ_2||≦||φ_1||+||φ_2||$
また、ノルムが定義されているベクトル空間をノルム空間という。

定義２－３　バナッハ空間

ノルム空間 $X$ の任意のコーシー列が $X$ の点に収束するとき、 $X$ は完備であるという。
完備なノルム空間をバナッハ空間という。

定義２－４　内積空間とヒルベルト空間

元 $φ_1,φ_2,φ_3,$ ・・・からなるバナッハ空間 $H$ が次の条件をみたすとき、内積空間という。
内積について完備な内積空間をヒルベルト空間という。

　 (2-11)　　 $<φ_1,φ_1>≧0,　:<φ_1,φ_1>=0 ⇔ φ_1=0$
　 (2-12)　　 $<φ_1,φ_2>=\overline{<φ_2,φ_1>}$
　(2-13)　　 $<αφ_1,φ_2>=α<φ_1,φ_2>$
　(2-14)　　 $<φ_1+φ_2,φ_3>=<φ_1,φ_3>+<φ_2,φ_3>$

定義２－５　閉包と閉集合・開集合

(1) $H$ をヒルベルト空間とし、 $𝒟$ を $H$ の空でない部分集合とする。 $H$ の元で、 $𝒟$ の点列の極限となっているものの全体を $𝒟$ の閉包とよび、 $\overline{𝒟}$ で表す。

　　 $\overline{𝒟}=｛φ∈H |φ_n∈𝒟（n=1,2,・・・）が存在して、lim_{n→∞}φ_n=φ｝$

これは、 $𝒟$ の収束列の極限をすべて集めてできる集合であり、 $𝒟⊂\overline{𝒟}$ となる。
(2)閉包をとっても変わらない部分集合、つまり、 $𝒟=\overline{𝒟}$ をみたす部分集合 $𝒟$ を閉集合という。
(3)補集合 $𝒡^c=H╱𝒡$ が閉集合となる部分集合 $𝒡⊂H$ を開集合という。

定義２－６　直交補空間

ヒルベルト空間 $H$ の部分空間 $𝒟$ に対して、 $𝒟$ のすべてのベクトルと直交するベクトルの全体を $𝒟$ の直交補空間といい、 $𝒟^{⊥}$ で表す。

　　 $𝒟^{⊥}={φ∈H |すべてのψ∈𝒟に対して、<φ,ψ>=0}$

定理２－１　ヒルベルト空間 $H$ の部分集合 $𝒟$ に対して、 $\overline{𝒟}$ は閉集合である。

（証明）
$\overline{𝒟}=F$ とおくと、閉包の定義より、 $F⊂\overline{F}$ となる。
そこで、この逆の包含関係を示すせばよい。
$ψ∈\overline{F}$ とする。このとき、 $φ_n→φ　（n→∞）$ となる $φ_n∈F$ が存在する。したがって、任意の $ε>0$ に対して、番号 $n_0$ が存在して、 $n≧n_0$ ならば、 $||φ_n-φ||＜ε$ が成り立つ。
また、 $φ_{n_0}∈F=\overline{𝒟}$ であるから、 $||φ_n-φ_{n_0}||＜ε$ をみたす点列 $φ_n⊂𝒟$ が存在する。（　 $\overline{𝒟}=｛φ_0∈H |φ_n∈𝒟（n=1,2,・・・）が存在して、lim_{n→∞}φ_n=φ_0｝$ ）
したがって、 $||φ_n-φ||=||(φ_n-φ)+(φ_{n_0}-φ)||≦||φ_n-φ_{n_0}||+||φ_{n_0}-φ||＜2ε$
これは、 $φ_n→φ （n→∞）$ を意味するから $φ∈\overline{𝒟}=F$ である。
よって、 $\overline{F}⊂F$ が示された。

定理２－２　ヒルベル空間 $H$ の部分空間 $𝒟$ が閉集合であるための必要十分条件は、 $𝒟$ の任意の収束列に対して、その極限が $𝒟$ の元になっていることである。

（証明）
【必要性】
$𝒟$ を閉集合、 $φ_n∈𝒟$ 、 $φ_n→φ∈H （n→∞）$ とする。このとき、 $φ∈\overline{𝒟}$ であり、 $𝒟$ は閉集合であるので、 $𝒟=\overline{𝒟}$ である。よって、 $φ∈𝒟$
【十分性】
$𝒟$ の任意の収束列に対して、その極限が $𝒟$ の元になっていると仮定し、 $𝒟⊂\overline{𝒟}$ の逆の包含関係を示す。（このとき、 $𝒟=\overline{𝒟}$ となるので、定理２－１により $𝒟$ は閉集合となる。）
$φ∈\overline{𝒟}$ とすれば、閉包の定義によって、 $φ_n→φ （n→∞）$ となる $φ_n∈𝒟$ が存在する。仮定により、 $φ∈𝒟$ である。
したがって、 $\overline{𝒟}⊂𝒟$ である。

定理２－３　直交分解定理

$𝒨$ をヒルベルト空間 $H$ の閉部分空間とする。このとき、任意の $φ∈H$ に対して、 $d(φ,𝒨)=||φ-φ_𝒨||$ を満たすベクトル $φ_𝒨∈𝒨$ がただ一つ存在し、この $φ_𝒨∈𝒨$ を、 $𝒨$ の上への $φ$ の正射影という。
（証明）
$d=d(φ,𝒨)$ とする。 $d$ の定義より、 $||φ-φ_n||→d （n→∞）$ となる点列 $｛ψ_n｝_{n=1}^∞⊂𝒨$ が存在する。
このとき、
$||ψ_n-ψ_m||^2=||(ψ_n-φ)+(φ-ψ_m)||^2=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2+Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)$ 　　①
$||ψ_n+ψ_m-2φ||^2=||(ψ_n-φ)-(φ-ψ_m)||^2=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2-Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)$ 　　②

②より、
$Re(<ψ_n-φ,φ-ψ_m>)=||ψ_n-φ||^2+||φ-ψ_m||^2-||ψ_n+ψ_m-2φ||^2$ 　　③

③を①に代入すると、
$||ψ_n-ψ_m||^2=2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-||ψ_n+ψ_m-2φ||^2$
　　　 $=2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-4||\frac{ψ_n+ψ_m-2φ}{2}||^2$
　　　 $≦2||ψ_n-φ||^2+2||φ-ψ_m||^2-4d$
　　　 $→2d^2+2d^2-4d^2=0 （n,m→∞）$
したがって、 $｛ψ_n｝_{n=1}^∞$ はコーシー列である。よって、 $ψ_n→φ_𝒨$ となる $φ_𝒨∈H$ が存在し、 $d(φ,𝒨)=||φ-φ_𝒨||$ が成り立つ。 $𝒨$ は閉部分空間であるから $φ_𝒨∈𝒨$ となる。（定理２－２により、点列の極限が集合でに収束すれば閉集合となる。）
次に、 $φ_𝒨$ の一意性を証明する。
仮に、 $φ_𝒨$ とは別に $d(φ,𝒨)=||φ-ψ||$ を満たす $ψ∈𝒨$ があったする。上記の計算を、 $ψ_n,ψ_m$ の代わりに、 $φ_𝒨,ψ$ を用いて行えば、 $||φ_𝒨-ψ||^2≦2||φ_𝒨-φ||^2+2||φ-ψ||^2-4d=2d^2+2d^2-4d^2=0$ となる。
したがって、 $φ_𝒨=ψ$ となる。

定理２－３　正射影定理

$𝒨$ をヒルベルト空間 $H$ の閉部分空間とする。このとき、 $H$ の任意のベクトル $φ$ は、 $φ=ψ+η （ψ∈𝒨,η∈𝒨^{⊥}）$ という形に一意的に表される。ここで、 $ψ,η$ はそれぞれ、 $𝒨,𝒨^{⊥}$ の上への $φ$ の正射影である。
（証明）
$φ∈H$ とし、 $𝒨$ 上への $φ$ の正射影を $ψ$ とする。 $η=φ-ψ$ とおけば、 $φ=ψ+η$ と書ける。そこで、 $η∈𝒨^{⊥}$ を示す。
$d=||φ-ψ||$ とおく。 $ξ∈𝒨,t∈\bf{R}$ とする。このとき、 $ψ+tξ∈𝒨,d=||η||$ であるから、
　　 $d^2≦||φ-(ψ+tξ)||^2=||η-tξ||^2=d^2+t^2||ξ||^2-2tRe(<η,ξ>)$
したがって、すべての $t∈\bf{R}$ に対して、 $t^2||ξ||^2-2Re(<η,ξ>)≧0$ 、これは $Re(<η,ξ>)=0$ を意味する。 $ｔ$ の代わりにて $it$ を用いれば同様にして、 $Im(<η,ξ>)=0$ が得られる。したがって、 $<η,ξ>=0$ であり、 $ξ$ は $𝒨$ の任意の元であったから、 $η∈𝒨^{⊥}$ である。
次に $φ$ の表示の一意性を示すために、別に $φ=ψ'+η' （ψ'∈𝒨,η'∈𝒨^{⊥}）$ と表されたとする。このとき、 $ψ-ψ'=η-η'$ となり、この式の左辺は $𝒨$ の元であり、右辺は $𝒨^{⊥}$ の元である。ところが、 $𝒨∩𝒨^{⊥}={0}$ であるから、 $ψ-ψ'=0,η-η'=0$ でなければならず、 $ψ=ψ',η=η'$ となる。

３．ヒルベルト空間上の線形汎関数

定義３－１　作用素

作用素 $T$ とはヒルベルト空間 $H$ もしくはその部分空間 $D$ に属している各元 $φ$ （ $∀φ∈H$ ）を $H$ またはその部分空間 $R$ に属している元 $ψ$ へ写像するものである。

　　(3-1)　　 $Tφ=ψ$

定義３－２　線形作用素

作用素 $T$ がヒルベルト空間 $H$ もしくはその部分空間 $D$ に属しているすべての関数 $φ$ 、 $ψ$ およびすべてのスカラー $α$ 、 $β$ （いずれも複素数）に対して、

　　(3-2)　　 $T(αφ+βψ)=αTφ+βTψ$

という性質を有するとき、この $T$ はヒルベルト空間上の線形作用素という。

定義３－３　有界線形作用素

$H_1,H_2$ をヒルベルト空間、 $T$ を $H_1$ から $H_2$ への線形作用素とする。定数 $C＞0$ が存在して、すべての $φ∈D(T)$ に対して次の関係が成り立つとき、 $T$ は有界であるという。有界な線形作用素を、有界線形作用素という。

　　(3-3)　　 $||Tφ||≦C||φ||$

以下では、特に断らない限り、作用素は線形作用素であるとする。

定義３－４　定義域と値域と零空間

作用素 $T$ の定義される元 $φ∈H$ の集合 $D(T)$ を $T$ の定義域、 $R(T)=｛Tφ:φ∈D(T)｝$ を $T$ の値域という。
$Tφ=0$ を満たすすべての元の定義域 $N(T)$ を $T$ の零空間という。

定義３－５　作用素の同等

作用素 $S,T$ について、次の２つの条件(1)と(2)が満たされるとき、 $S$ と $T$ は等しいとし、 $S=T$ と表す。
　(1) $D(S)=D(T)$ 　（定義域が等しい）
　(2)すべての $φ∈D(S)$ （ $=D(T)$ ）に対して $Sφ=Tφ$ 　（作用が等しい）

定義３－６　作用素の単射・全射

・作用素 $T$ が、 $φ≠ψ$ であるような $φ,ψ∈D(T)$ に対して、 $Tφ≠Tψ$ であるとき、 $T$ は１対１あるいは単射であるという。
・作用素 $T$ がヒルベルト空間 $H_1$ から $H_2$ （つまり、 $φ∈H_1,Tφ∈H_2$ ）の作用素であり、値域 $R(T)=H_2$ であるとき、 $T$ を全射であるという。

定義３－７　ヒルベルト空間上の線形汎関数

ヒルベルト空間上の閉部分空間 $M$ に属するすべての $f,g$ とすべての複素数 $α,β$ に対して汎関数 $l$ が次の条件を満たす場合、この $l$ は $M$ 上の線形汎関数という。

　　(3-4)　　 $l(αf+βg)=αl(f)+βl(g)$

この $l$ を $f$ の共役関数といい、 $l(f)$ の集合で作られる空間 $M$ をの共役空間という。

定義３－８　線形汎関数の有界性

ヒルベルト空間 $H$ の部分空間 $M$ に属するすべての $h$ に対して、

　　(3-5)　　 $|l(h)|≦κ||h||$ 　　　（ $||h||^2$ = $<{h},{h}>$ 　）
　　　　
となるような正定数 $κ$ が存在するとき、線形汎関数はその定義域 $M$ 上の有界であると言われる。
この不等号が $M$ に属するすべての $h$ に対して成り立つ最も小さい正定数 $κ$ は線形汎関数 $l$ のノルムといわれ、 $||l||$ によって表される。

　　(3-6)　　 $||I||=sup_{||h||≠0}\frac{|l(h)|}{||h||}$

定義３－９　線形汎関数の連続性

(1)線形汎関数 $i(h)$ が $M$ で連続とは、 $g,h$ が $M$ に属し、各 $ε＞0$ に対して $||g-h||＜δ$ のときはいつでも、 $|l(h)-l(g)|＜ε$ となるような $δ＞0$ が存在することである。
( $δ=0$ では、不連続）
(2) $M$ に属する点列 ${h_n}$ が極限 $h$ をもつときはいつでも $l(h_n)→l(h)$ となるとき、汎関数 $l$ は $h$ で連続であるという。
(3) $M$ 上のすべての点で連続は汎関数は $M$ で連続であるという。

定理３－１　原点で連続な有界線形汎関数 $l$ はその全定義域 $M$ で連続である。

（証明）
$M$ に属する任意の点列 ${h_n}$ が $M$ に属するある点 $h$ に極限をもつとする。
このとき $||h_n-h||→0$ となり、原点で連続であるという仮定より、 $l(h_n-h)→l(h)$ となる。
仮定により $l$ は線形であるから、 $l(h_n-h)=l(h_n)-l(h)$ で、原点において連続であるから、 $l(h_n)→l(h)$ となり、 $l$ は全定義域で連続となる。

定理３－２　線形汎関数において、有界性⇔連続性が成り立つ。

（証明）
【有界⇒連続】
$l$ が有界であるとする、有界の定義３－８よりある定数 $κ$ が存在して、
　　　　 $|l(h_n)-l(h)|=|l(h_n-h)|≦κ||h_n-h||$
となる。したがって、 $h_n→h$ のとき、 $l(h_n)→l(h)$ となり、定義３－９(２)より $l$ は連続である。
【連続⇒有界】
もし、 $l$ が非有界であるなら、 $κ＞0$ に対して
　　　 $|l(h_n)|＞κ||h_n||$
となるような $M$ に属する非ゼロの点列 ${h_n}$ が存在することになる。
すると、0に収束する点列 $g_n=\frac{h_n}{n||h||}$ は $|l(g_n)|＞\frac{κ}{n}＞0$ となり、 $l(g_n)$ は0になりえず、原点における連続性に反する。

定理３－３　有界線形作用素の連続性

$T$ をヒルベルト空間 $H_1$ からヒルベルト空間 $H_2$ への有界線形作用素とするとき、次の(1)と(2)が成り立つ。
(1) $φ_n∈D(T),φ_n→φ∈D(T)$ （ $n→∞$ ）⇒ $Tφ_n→Tφ$ （ $n→∞$ ）
(2) $D(T)=H_2$ のとき、零空間 $N(T)$ は閉部分空間である。
（証明）
(1) $Ｔ$ の線形性と有界性により、 $||Tφ_n-Tφ||=||T(φ_n-φ)||≦||T|| ||φ_n-φ||$
よって、 $φ_n→φ$ であれば、 $||Tφ_n-Tφ||→0$ であり、 $Tφ_n→Tφ$ となる。
（2） $φ_n∈N(T),φ_n→φ∈H_2$ となる。このとき、連続性により、 $Tφ_n→Tφ$ となる。
一方で、 $Tφ_n=0$ であるため、 $Tφ=0$ であるので、 $φ∈N(T)$ 。
よって、 $N(T)$ は閉集合である。なお、 $N(T)$ が部分空間であることは定義より自明。

定理３－４　リースの表現定理

ヒルベルト空間 $H$ の全体で定義される連続有界線形汎関数 $F$ は、 $H$ に属するすべての元 $ψ$ に対して、次のように内積の形で $H$ 内の元 $φ_F$ と対応づけられて一意的に表すことができる。さらに、 $||φ_F||=||F||$ が成り立つ。

　　(3-7)　　 $F(ψ)=<φ_F,ψ>$ 　

（証明）
まず、 $N(F)=H$ （ $F(ψ)=0$ ）の場合を考える。この場合は、 $φ_F=0$ とすれば、 $F(ψ)=0=<φ_F,ψ>,ψ∈H$ が成り立つので、 $φ_F$ が存在する。
次に $N(F)≠H$ の場合を考える。定理３－３(2)により、 $N(F)$ は閉部分空間であるから、正射影定理（定理２－３）により、零でないベクトル $ψ_0∈(N(F))^{⊥}$ が存在し、 $F(ψ_0)≠0$ が成り立つ。
よって、任意の $ψ∈H$ に対して、 $φ≡ψ-F(ψ)F(ψ_0)^{-1}ψ_0$ は $N(F)$ の元である。したがって、 $<ψ_0,φ>=0$ となる。
これを書き直すと、 $0=<ψ_0,ψ>-F(ψ)F(ψ_0)^{-1}||ψ_0||^2$ なので、 $F(ψ)=\frac{F(ψ_0)<ψ_0,ψ>}{||ψ_0||^2}$ を得る。
したがって、 $φ_F=\frac{F(ψ_0)^{*}ψ_0}{||ψ_0||^2}$ とすれば、 $F(ψ)=<φ_F,ψ>$ となり、 $φ_F$ は存在する。
次に、 $φ_F$ の一意性を証明する。
別に、 $F(ψ)=<φ_F',ψ>$ 、 $ψ∈H$ をみたす $φ_F'∈H$ が存在すると、 $<φ_F-φ_F',ψ>=0$ となる。 $ψ$ は任意であるから、特に、 $ψ=φ_F-φ_F'$ とすれば、 $||φ_F-φ_F'||=0$ なので、 $φ_F=φ_F'$ となる。

定義３－１０　共役空間と共役関数

リースの表現定理（定理３－４）により、ヒルベルト空間 $H$ の全体で定義される連続有界線形汎関数 $F$ は、 $F(ψ)=<φ_F,ψ>$ の形式で内積として一意に表されるが、この線形汎関数のすべてからなる集合を $H$ の共役空間また双対空間といい、 $H^*$ で表す。
また、F(ψ)を共役関数という。
ヒルベルト空間においては、 $H^*=H$ となる。

４．ヒルベルト空間の性質

定義４－１　正規直交基底

$H$ をヒルベルト空間とする。 $H$ が有限次元でN次元とすると、N個の独立なベクトルの組 $ψ_1,ψ_2,・・・,ψ_N$ が存在する。グラム・シュミットの直交化法により、正規直交系 ${｛ψ_n｝^N}_{n=1}$ がとれる。
したがって、任意の $φ∈H$ は、 $φ＝{Σ^N}_{n=1}<ψ_n,φ>ψ_n$ と表される。こうして、有限次元ヒルベルト空間 $H$ においては、つねに正規直交系 ${｛ψ_n｝^N}_{n=1}$ が存在して、 $H$ の任意のベクトル（元）は、その $ψ_n$ 方向への正射影の和として一意に表されることができ、このような正規直交系を $H$ の正規直交基底という。