数学と物理学のブログ

本業から離れて、趣味である数学と物理学について書きます。

ディラック方程式の備忘録

1.パウリ行列

 σ_1=\begin{pmatrix}
&1\\
1& \\
\end{pmatrix}
~~~σ_2=\begin{pmatrix}
&-i\\
i& \\
\end{pmatrix}
~~~σ_3=\begin{pmatrix}
1&\\
&-1\\
\end{pmatrix}

   σ_1σ_2=-σ_2σ_1=iσ_3  σ_2σ_3=-σ_3σ_2=iσ_1  σ_3σ_1=-σ_1σ_3=iσ_2
   σ_1^2=σ_2^2=σ_3^2=I

2.ディラック・パウリ行列

※このように4×4の行列を2×2の行列のように表す表示をディラック表示という。
 α_1=\begin{pmatrix}
&\textbf{σ}_\textbf{1}\\
\textbf{σ}_\textbf{1}&\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 & & &1\\
 & &1& \\
 &1& & \\
1&& & \\
\end{pmatrix}


 α_2=\begin{pmatrix}
&\textbf{σ}_\textbf{2}\\
\textbf{σ}_\textbf{2}&\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 & & &-i\\
 & &i& \\
 &-i& & \\
i&& & \\
\end{pmatrix}


 α_3=\begin{pmatrix}
&\textbf{σ}_\textbf{3}\\
\textbf{σ}_\textbf{3}&\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 & &1&\\
 & & &-1\\
1& & & \\
 &-1& & \\
\end{pmatrix}


 β=\begin{pmatrix}
1& & &\\
 &1& &\\
 & &-1& \\
 & & &-1\\
\end{pmatrix}

   {α_i}^2=β^2=1
   α_iα_j+α_jα_i=2δ_{ij}
   α_iβ+βα_i=0

3.ガンマ行列

   γ^0=β~~~~~~γ^i=βα_i
   (γ^0)^2=1~~~~~~(γ^i)^2=-1
   γ^νγ^μ=-γ^μγ^ν~~(μ≠ν)
   γ^0=γ_0~~~~γ^i=-γ_i

 ディラック表示で表すと、

γ^0=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1\\
\end{pmatrix}
~~~γ^i=\begin{pmatrix}
0&{σ_i}\\
{-σ_i}&0\\
\end{pmatrix}

4.特殊相対性理論

計量テンソルg^{μν}=g_{μν}=
\begin{pmatrix}
1& & & \\
 &-1& & \\
 & &-1& \\
 & & &-1\\
\end{pmatrix}
※添え字を上げ下げする。
   x_μ=g_{μρ}x^ρ
   g^{μρ}g_{ρν}=g^μ_{~~ν}=δ^μ_ν

   ガンマ行列との関係:γ^μγ^ν+γ^νγ^μγ=g^{νμ}~~~γ^ν=g^{νμ}γ_μ

   ローレンツ変換の不変量:s^2≡g_{μν}x^μx^ν

   ローレンツ変換x'^μ=Λ^μ_{~~ν}x^ν
   
   g_{μν}x'^μx'^ν=g_{μν}x^μx^ν
   g_{μν}Λ^μ_{~~ρ}x^ρΛ^ν_{~~σ}x^σ=g_{μν}x^μx^ν
  ∴g_{μν}Λ^μ_{~~ρ}Λ^ν_{~~σ}=g_{ρσ}・・・ローレンツ変換が満たす関係

   ローレンツ変換の逆変換

   x^μ=(Λ^{-1})^μ_{~~ρ}x'^ρ=(Λ^{-1})^μ_{~~ρ}Λ^ρ_{~~ν}x^ν
  ∴(Λ^{-1})^μ_{~~ρ}Λ^ρ_{~~ν}=g^μ_{~~ν}=δ^μ_ν

 一方g_{σρ}Λ^σ_{~~μ}ρΛ^ρ_{~~ν}=g_{μν}
  ∴Λ_{ρμ}Λ^ρ_{~~ν}=g_{μν}

 さらにΛ_{ρσ}g^{σμ}Λ^ρ_{~~ν}=g_{σν}g^{σμ}
  ∴Λ_{ρ}^{~~μ}Λ^ρ_{~~ν}=g^μ_{~~ν}=δ^μ_ν

  ∴(Λ^{-1})^μ_{~~ρ}=Λ_{ρ}^{~~μ}

   微小ローレンツ変換Λ^μ_{~~ν}=δ^{μ}_{ν}+ε^{μ}_{~~ν}

 微小量ε^{μ}_{~~ν}について、1次のレベルまでローレンツ変換の条件を適用すると、
 
   g_{μν}δ^ν_{σ}δ^{μ}_{ρ}+g_{μν}(ε^μ_{~~ρ}δ^ν_{σ}+δ^μ_{ρ}ε^ν_{~~σ})=g_{ρσ}
  ∴g_{ρσ}+g_{μσ}ε^μ_{~~ρ}+g_{ρν}ε^ν_{~~σ}=g_{ρσ}

   ε_{σρ}+ε_{ρσ}=0 
  よって、無限小ローレンツ変換は反対称テンソル


 

5.ディラック方程式

   i{\hbar}\frac{\partial}{{\partial}t}{\psi}(\textbf{r},t)=(-i{\hbar}c\textbf{α}{\cdot}∇+βmc^2 ){\psi}(\textbf{r},t)

左からβ=γ^0を乗じ、γ^i=βα_i~~β^2=1を用い、さらにx^0=ctとすると、
   (i{\hbar}γ^μ\frac{\partial}{{\partial}x^μ}-mc){\psi}(\textbf{r})=0

   (i{\hbar}γ^μ{\partial}_μ-mc){\psi}(\textbf{r})=0

ディラック方程式の解である4成分の{\psi}(\textbf{r})を、ディラックピノルという。

ディラックピノルと確率密度Pの関係
   P={\psi}^{\dagger}{\psi}=|{\psi}_0|^2+|{\psi}_1|^2+|{\psi}_2|^2+|{\psi}_3|^2

6.ディラック方程式ローレンツ変換の共変性

座標が、ローレンツ変換x'^μ=Λ^μ_{~~ν}x^νで変換されるときに、ディラックピノ{\psi}(x)に対して、次のような変換Sが存在すれば、ディラック方程式ローレンツ変換に対して共変であるといえる。

   {\psi}'(x')=S(Λ){\psi}(x)・・・・
   (S(Λ)は、ローレンツ変換Λ^μ_{~~ν}によって構成される行列)

   (i{\hbar}γ^μ{\partial}_μ-mc){\psi}(\textbf{r})=0

左からSを乗じると

   (i{\hbar}Sγ^μ{\partial}_μ-mcS){\psi}(\textbf{r})=0

Sγ行列は交換しないので、第1項の左にI=S^{-1}Sを乗じると、

   (i{\hbar}Sγ^μS^{-1}{\partial}_μ-mc)S{\psi}(\textbf{r})=0

   {\partial}_μ=\frac{{\partial}x'^{ν}}{{\partial}x^{μ}}\frac{\partial}{{\partial}x'^{ν}}=Λ^ν_{~~μ}{\partial}'_{ν}
なので、

   (i{\hbar}Λ^ν_{~~μ}Sγ^μS^{-1}{\partial}'_ν-mc){\psi}'(\textbf{r}')=0

これが
   (i{\hbar}γ^ν{\partial}'_ν-mc){\psi}'(\textbf{r}')=0
となればよいが、そのためには、

   Λ^ν_{~~μ}Sγ^μS^{-1}=γ^ν
を満たすことが必要で

このようなSを微小ローレンツ変換に適用する。
無限小ローレンツ変換ε_{μν}の1次までで、Sを次のように取る。

   S=1-iε_{μν}kT^{μν}(γ)~~~~~S^{-1}=1+iε_{μν}kT^{μν}(γ)
T^{μν}は、行列Tの要素ではなくγ行列から構成される行列である。これを行列の要素と勘違いすると、以下の数式の展開が全く理解できなくなるので注意。当然、T^{μν}γ行列と交換しない。また、kは定数である。

   (δ^ν_μ+ε^ν_{~~μ})(1-iε_{ρσ}kT^{ρσ})γ^μ(1+iε_{ρσ}kT^{ρσ})=γ^ν
 
 εの1次までをとると
   δ^ν_μγ^μ+ε^ν_{~~μ}γ^μ-iδ^ν_με_{ρσ}kT^{ρσ}γ^μ+iδ^ν_μγ^με_{ρσ}kT^{ρσ}=γ^ν
   γ^μ+ε^ν_{~~μ}γ^μ-iε_{ρσ}kT^{ρσ}γ^ν+iγ^νε_{ρσ}kT^{ρσ}=γ^ν
  ∴ε^ν_{~~μ}γ^μ-iε_{ρσ}kT^{ρσ}γ^ν+iγ^νε_{ρσ}kT^{ρσ}=0

第1項のμσにし、ε^ν_{~~σ}=g^{νρ}ε_{ρσ}を用いると、
   g^{νρ}ε_{ρσ}γ^σ-iε_{ρσ}kT^{ρσ}γ^ν+iγ^νε_{ρσ}kT^{ρσ}=0
   ε_{ρσ}(g^{νρ}γ^σ-ikT^{ρσ}γ^ν+iγ^νkT^{ρσ})=0
   ig^{νρ}γ^σ+kT^{ρσ}γ^ν-γ^νkT^{ρσ}=0
  ∴[kT^{ρσ},γ^ν]=-ig^{νρ}γ^σ

g^{νρ}=γ^νγ^ρ+γ^ργ^νなので、

   [kT^{ρσ},γ^ν]=-i(γ^νγ^ργ^σ+γ^ργ^νγ^σ)=-i(γ^νγ^ργ^σ-γ^ργ^σγ^ν)=i[γ^ργ^σ,γ^ν]
  ∴kT^{ρσ}=iγ^ργ^σ
よって、Sは存在する。

さらに、
   {\psi}'(x')=S(Λ){\psi}(x)=S(Λ){\psi}(Λ^{-1}x')

 xx'に書き換えると、
   {\psi}'(x)=S(Λ){\psi}(x)=S(Λ){\psi}(Λ^{-1}x)

 ここで、
   {\psi}(Λ^{-1}x)={\psi}(x-ε^μ_{~~ν}x)≒{\psi}(x)-ε^μ_{~~ν}x^ν{\partial}_μ{\psi}(x)

 よって、
   {\psi}'(x')=(1-iε_{ρσ}kT^{ρσ})({\psi}(x)-ε^μ_{~~ν}x^ν{\partial}_μ{\psi}(x))

 εを1次までとると、
   {\psi}'(x')={\psi}(x)-ε^μ_{~~ν}x^ν{\partial}_μ{\psi}(x)-iε_{ρσ}kT^{ρσ}{\psi}(x)
   {\psi}'(x')={\psi}(x)-g^{ρμ}ε_{ρσ}x^σ{\partial}_μ{\psi}(x)-iε_{ρσ}kT^{ρσ}{\psi}(x)
   {\psi}'(x')={\psi}(x)-ε_{ρσ}x^σ{\partial}^ρ{\psi}(x)-iε_{ρσ}kT^{ρσ}{\psi}(x)
   {\psi}'(x')={\psi}(x)-i\frac{ε_{ρσ}}{2}(-i2x^σ{\partial}^ρ+2kT^{ρσ}){\psi}(x)

  ∴{\psi}'(x')={\psi}(x)-\frac{iε_{ρσ}}{2}(ix^ρ{\partial}^σ-ix^σ{\partial}^ρ+2kT^{ρσ}){\psi}(x)

 ここで、ローレンツ変換の生成子M^{ρσ}

   {\psi}'(x')={\psi}(x)-\frac{iε_{ρσ}}{2\hbar}M^{ρσ}{\psi}(x)
 と比較すると、
   M^{ρσ}=i{\hbar}x^ρ{\partial}^σ-i{\hbar}x^σ{\partial}^ρ+2{\hbar}kT^{ρσ}
   M^{ρσ}=x^ρp^σ-x^σp^ρ+2{\hbar}kT^{ρσ}

 ここで、
   (M^{23},M^{31},M^{12})=\textbf{L}+\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}{\textbf{σ}}&0\\0&{\textbf{σ}}\\\end{pmatrix}
 であるので、2{\hbar}k(T^{23},T^{31},T^{12})を求めてみると、

   T^{23}=iγ^2γ^3={i}\begin{pmatrix}0&{σ_2}\\{-σ_2}&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&{σ_3}\\{-σ_3}&0\\\end{pmatrix}={i}\begin{pmatrix}{-σ_2σ_3}&0\\0&{-σ_2σ_3}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{σ_1}&0\\0&{σ_1}\\\end{pmatrix}
   (σ_2σ_3=iσ_1

 同様にして、T^{31}とT^{12}も求めると、

   2{\hbar}k(T^{23},T^{31},T^{12})=2{\hbar}k\begin{pmatrix}{\textbf{σ}}&0\\0&{\textbf{σ}}\\\end{pmatrix}
  ∴k=\frac{1}{4}

 よって、S
   S=1-\frac{iε_{μν}}{4}T^{μν}(γ)~~~~~S^{-1}=1+\frac{iε_{μν}}{4}T^{μν}(γ)

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