ディラック方程式の備忘録
1.パウリ行列
4.特殊相対性理論
計量テンソル:
※添え字を上げ下げする。
ガンマ行列との関係:
ローレンツ変換の不変量:
ローレンツ変換の逆変換
∴
一方
∴
さらに
∴
∴
微小ローレンツ変換:
微小量について、1次のレベルまでローレンツ変換の条件を適用すると、
∴
6.ディラック方程式のローレンツ変換の共変性
座標が、ローレンツ変換で変換されるときに、ディラックスピノルに対して、次のような変換が存在すれば、ディラック方程式はローレンツ変換に対して共変であるといえる。
・・・・
(は、ローレンツ変換によって構成される行列)
左からを乗じると
と行列は交換しないので、第1項の左にを乗じると、
なので、
これが
となればよいが、そのためには、
を満たすことが必要で
このようなを微小ローレンツ変換に適用する。
無限小ローレンツ変換の1次までで、を次のように取る。
※は、行列Tの要素ではなく行列から構成される行列である。これを行列の要素と勘違いすると、以下の数式の展開が全く理解できなくなるので注意。当然、は行列と交換しない。また、は定数である。
の1次までをとると
∴
第1項のをにし、を用いると、
∴
なので、
∴
よって、は存在する。
さらに、
をに書き換えると、
ここで、
よって、
を1次までとると、
∴
ここで、ローレンツ変換の生成子、
と比較すると、
ここで、
であるので、を求めてみると、
()
同様にして、も求めると、
∴
よって、は