量子力学の軌跡解釈による二重スリットシミュレーション２～ドブロイ・ボーム解釈によるアプローチ

第１編「量子力学の軌跡解釈による二重スリットシミュレーション１～ド・ブロイ=ボーム解釈によるアプローチ」の続きとなり、式(1)～式(14)は第１編からの引用となります。また、第１編と同様に、「量子力学の軌跡解釈（ボーム力学）の概要」もしくは「量子力学の軌跡解釈のガウス関数への適用」から数式を引用することがありますが、その場合は「概要(3)式」「ガウス(3)式」のように表記します。

４．二重スリットの量子ポテンシャル

次に、二重スリットの量子ポテンシャルを求めて、どのような動きをするのか見てみます。そのためには、式(9)を $Ψ(r,t)＝Rexp(iS)$ に当てはめて $R$ を求め、それを概要(16)式 $Ｑ＝－(1/2m)({∇}^2R ／R)$ に代入し計算しなければなりません。

　　　　 $r=(exp(2Ay)+exp(-2Ay)+2cos(2By) )^2$

　　　　 $ψ_1+ψ_2=g(x)exp(\frac{(y^2+b^2)it}{2σ_y}+iθ)exp(-\frac{(y^2+b^2)(Δy)^2}{σ_y})r$ 　　　(9)

式(9)を、 $ψ(r,t)＝Rexp(iS)$ に当てはめると、

　　　　 $R=Re｛g(x)｝exp(-\frac{(y^2+b^2)(Δy)^2}{σ_y}){f(y)}^2$ (10)

　　　　 $f(y)=exp(2Ay)+exp(-2Ay)+2cos(2By)$ 　　　　　(11)

　　（ $σ_y=4( (Δy)^4+t^2/4)$ 　　　　　 $A=\frac{2b(Δy)^2}{σ_y}$ 　　　　　 $B=\frac{bt}{σ_y}$ ）

となります。量子ポテンシャル $Q$ のうち、Ｘ方向で２階偏微分して求まる項は、「量子力学の軌跡解釈のガウス関数への適用」で計算した結果と同じなので、ここでは、Ｙ方向で２階偏微分して求まる項のみを計算します。つまり、 $Re｛g(x)｝$ の因子は無視してよいことになります。

まず、式(10)を１階偏微分して、

　　　　　　　　　 $\frac{∂R}{∂y}＝(-\frac{2y(Δy)^2}{σ_y}＋\frac{f}{2}\frac{∂f}{∂y})R$

さらに、２階偏微分すると、

　　　　　 $\frac{∂^2R}{∂y^2}＝(-\frac{2(Δy)^2}{σ_y}-\frac{f^2}{2}(\frac{∂f}{∂y})^2＋\frac{f}{2}\frac{∂^2f}{∂y^2})R＋(-\frac{2y(Δy)^2}{σ_y}＋\frac{f}{2}\frac{∂f}{∂y})\frac{∂R}{∂y}$
　　　　　　= $｛-\frac{2(Δy)^2}{σ_y}-\frac{f^2}{2}(\frac{∂f}{∂y})^2＋\frac{f}{2}\frac{∂^2f}{∂y^2}｝R＋｛-\frac{2y(Δy)^2}{σ_y}＋\frac{f}{2}\frac{∂f}{∂y}｝^2R$

これらを丹念に計算していくと、概要(16)式 $Ｑ＝－(1/2m)({∇}^2R ／R)$ より、 $m=1$ の場合の量子ポテンシャル $Q$ は、

　　　 $Q=\frac{(Δy)^2}{σ_y}＋\frac{1}{8}｛\frac{(∂f/∂y)}{f}｝^2-\frac{1}{4f}\frac{∂^2f}{∂y^2}-\frac{2y^2(Δy)^4}{σ_y^2}＋y(Δy)^2\frac{1}{f}\frac{∂f}{∂y}+(xによる２階偏微分の項)$

　　　　　　　 $f＝exp(2Ay)+exp(-2Ay)+2cos(2By)$

　　　　　　　 $\frac{∂f}{∂y}=2A（exp(2Ay)-exp(-2Ay)）-4Bsin(2By)$

　　　　　　　 $\frac{∂^2f}{∂y^2}=4A^2（exp(2Ay)+exp(-2Ay)）-8B^2cos(2By)$

　　　　　　　 $σ_y=4( (Δy)^4+t^2/4)$ 　　　 $A=\frac{2b(Δy)^2}{σ_y}$ 　　　 $B=\frac{bt}{σ_y}$

となります。
そして、「Ｘによる２階偏微分の項」は、ガウス(14)式で $t=0$ で $x=0$ として、 $k_0$ を $k_x$ に置き換え、 $ћ=m=1$ （原子単位系）とすればよいので、

　　　　　　　　 $Q=\frac{(Δy)^2}{σ_y}＋\frac{1}{8}｛\frac{(∂f/∂y)}{f}｝^2-\frac{1}{4f}\frac{∂^2f}{∂y^2}-\frac{2y^2(Δy)^4}{σ_y^2}＋y(Δy)^2\frac{1}{f}\frac{∂f}{∂y}+\frac{(Δx)^2-2(Δx)^4(x-k_xt)^2}{(4(Δx)^4+t^2)^2}$ 　　　　　　(12)

となります。
式(12)をプロットしてみると次のようになります。

まず、 $a=6、b=10、Δx=Δy=1$ で量子ポテンシャルの変化を見てみます。

f:id:sr-memorandum:20191014102556p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014102725p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014102749p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014102806p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014102830p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014103233p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1);

f:id:sr-memorandum:20191014103344p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014103949p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014104019p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014104050p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014104118p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014104140p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

f:id:sr-memorandum:20191014104216p:plain — 量子ポテンシャルの変化(a=6,b=10,Δx=Δy=1)

Ｘ方向に0.4の速度を保ったまま、Ｙ方向はポテンシャルの低い方向に運動するため、量子ポテンシャルによって軌跡に粗密ができることが（粒子の軌跡はポテンシャルが谷の部分に集まります）わかります。
ただ、３Ｄでは分かりにくいうえ、 $t=5$ 以上では量子ポテンシャルが $x$ にほとんど依存しなくなるため、 $x=0$ に固定して量子ポテンシャルの時間的な変化を見てみます。