簡単な電磁気の考察から見える特殊相対性理論の入り口

１．疑問

f:id:sr-memorandum:20190322205519p:plain

図１

図１のように真空中にある無限長線状荷電体の間にかかる単位長さ当たりのクーロン力 $F_q$ は、

$F_q=\lambda ^2 /2\pi \epsilon _0 r$ ・・・(1)

（ $\lambda$ :線状荷電体の線電荷密度　 $\epsilon _0$ :真空中の誘電率　 $r$ :線状電荷体間の距離　）

となる。（ガウスの定理から簡単に導ける）

f:id:sr-memorandum:20190322213805p:plain

図２

次に図２のように線状荷電体と平行に速度 $v$ で等速直線運動で移動する観測者を考えてみる。（速度 $v$ の慣性系から観測すると考えてもよい。）図２の観測者から見ると図１の線状荷電体は電流とし観測されその大きさは、

$I=dq/dt=\frac{dq}{dx} \frac{dx}{dt}=\lambda v$ ・・・(2)

となるが、電流が発生するということはアンペールの法則により線状帯電体間にはクーロン力とは別の力、アンペール力 $F_a$ が働き、その大きさは単位長さ当たり、

$F_a=\mu_0 I ^2 /2\pi r$ = $\mu_0 v ^2 \lambda ^2 /2\pi r$ ・・・(3)

（ $\mu_0$ :真空中の透磁率）

である。（ビオ・サバールの法則から簡単に導ける）図２によると、アンペール力はクーロン力と反対に働くので線状帯電体間に作用する力は、

$F = \lambda ^2 /2\pi \epsilon _0 r$ - $\mu_0 v ^2 \lambda ^2 /2\pi r$

$= \lambda ^2 (1- \epsilon _0 \mu_0 v ^2 ) / 2 \pi \epsilon _ 0 r$ ・・・(4)

これにより古典的な電磁気学は、慣性系によって法則が異なるという奇妙な理論であるということになる。しかも、作用する力の大きさが(1)と(4)で異なるというほとんど論理的に破綻していると考えられる結果が導かれる。

２．検証

矛盾した結果が導かれる原因は、導出過程に誤りがあるか、あるいは前提条件に誤りがあるかのいずれかである場合が多い。(1)(4)ともに導出過程は高校生でも可能な程度の単純なもので誤りがあるとは考えにくいので、後者を検討してみる。すると１つの疑問として浮かび上がるのは、線状荷電体の線電荷密度 $\lambda$ が静止系から観測しても、慣性系から観測しても本当に同一であるかということである。そこで、慣性系からは線電荷密度 $\lambda$ が $\lambda '$ に変化するものとして、(1)と(4)の力が等しいとすると、